Une nouvelle approche pour résoudre l’équation de Schrödinger
L’équation de Schrödinger, considérée comme la pierre angulaire de la mécanique quantique, demeure difficile à résoudre exactement dans la pratique. Trois mathématiciens français, Éric Cancès, Mathieu Lewin et Julien Toulouse, ont proposé une reformulation innovante de cette équation, visant à étudier des systèmes complexes qui défient les analyses théoriques.
En 1925, Erwin Schrödinger a introduit son équation, qui permet théoriquement de calculer les propriétés des atomes, la réactivité des molécules et la réponse des matériaux. Cependant, en pratique, cette équation est souvent impossible à résoudre de manière exacte. Depuis son apparition, les chercheurs ont constamment recherché des méthodes mathématiques pour se rapprocher de ses solutions.
La récente avancée de Cancès, Lewin et Toulouse repose sur une approche radicale : remplacer le système réel par un système équivalent, mais fictif et simplifié. Les premiers résultats de cette méthode laissent entrevoir des possibilités pour modéliser des systèmes quantiques complexes jusqu’alors inaccessibles.
L’équation de Schrödinger a été conçue pour décrire les ondes de matière, comme l’a imaginé Louis de Broglie en 1924. Schrödinger a résolu avec succès le cas de l’atome d’hydrogène, fournissant une description mathématique des orbitales atomiques. Malgré ces succès initiaux, Paul Dirac a souligné dès 1930 que les véritables défis résident dans le calcul des systèmes plus complexes.
La théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT) a été une avancée majeure dans ce domaine, permettant de modéliser des assemblées d’électrons comme un fluide quantique. Cette approche se concentre sur la densité des particules plutôt que sur leur fonction d’onde, simplifiant ainsi les calculs. Deux théorèmes démontrés par Pierre Hohenberg et Walter Kohn en 1964 justifient cette méthode, affirmant que la densité contient toutes les informations nécessaires pour déterminer l’énergie d’un système.
Malgré les progrès réalisés, de nombreux systèmes physiques échappent encore aux modélisations théoriques. Dans le cadre du projet MaQui, Cancès, Lewin et Toulouse ont identifié des systèmes difficiles à modéliser, tels que les atomes soumis à des impulsions laser attosecondes et certains matériaux à base de graphène.
Pour surmonter ces défis, les chercheurs ont introduit un « potentiel imaginaire », permettant aux particules d’apparaître ou de disparaître dans la modélisation. Cette méthode a été testée sur des modèles dont les solutions étaient déjà connues, montrant que le potentiel imaginaire peut simplifier les calculs.
Les résultats de cette recherche sont publiés dans les revues Physical Review Letters et Physical Review A. Bien que l’impact de ces travaux sur la résolution de nouveaux problèmes de physique ou de chimie reste à confirmer, cette approche innovante pourrait ouvrir la voie à de nouvelles avancées dans le domaine de la mécanique quantique.
Source : Le Journal du CNRS
