Des mondes parallèles en mathématiques ?
L’idée d’univers parallèles, potentiellement infinis, avec des lois physiques différentes, suscite des débats parmi physiciens et philosophes. Une question similaire émerge dans le domaine des mathématiques, où se pose le débat sur le « multivers ensembliste », une controverse qui perdure depuis une quinzaine d’années parmi les logiciens.
Ce débat découle de la position réaliste en philosophie des mathématiques, qui postule l’existence d’un monde mathématique et d’une vérité mathématique objective. Cette vision a été défendue par le logicien Kurt Gödel, dont les théorèmes d’incomplétude ont transformé notre compréhension des mathématiques. Selon les réalistes, les réponses aux questions sur les objets mathématiques ne dépendent pas de conventions ou de choix arbitraires, mais relèvent d’une réalité indépendante.
Par exemple, déterminer si le nombre entier ( n = 3^{10^{100}} + 2^{10^{100}} ) est un nombre premier ne dépend pas d’une décision humaine. La réponse est soit que ( n ) est premier, soit qu’il ne l’est pas, indépendamment de notre capacité à le prouver. Même si notre univers physique est fini, la vérité mathématique sur ( n ) existe, même si elle pourrait rester inaccessible.
Réalité des nombres et des ensembles
Les problèmes liés aux nombres sont généralement considérés comme moins problématiques. En revanche, la situation se complique avec les ensembles, qui sont fondamentaux en mathématiques. Pour les entiers, un système axiomatique dit « de Peano » permet de démontrer la vérité de presque tous les énoncés concernant ces nombres. Cependant, le premier théorème d’incomplétude de Gödel indique qu’il existe des énoncés indécidables concernant les entiers, ce qui signifie que pour certains énoncés, ni leur vérité ni leur négation ne peuvent être prouvées.
La situation est encore plus délicate en ce qui concerne les ensembles, régis par l’axiomatique ZFC (Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix). Bien que ZFC soit généralement acceptée comme non contradictoire, elle ne peut pas démontrer tous les énoncés concernant les ensembles, ce qui soulève des questions sur l’existence d’un univers ensembliste unique.
Cantor et les alephs
La théorie des ensembles, développée par Georg Cantor, a révélé qu’il existe différents types d’infini, notés par des symboles hébreux appelés alephs (( \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \ldots )). Cantor a prouvé que la taille de l’ensemble des réels est supérieure à celle des entiers, mais il n’a pas pu démontrer l’hypothèse du continu (HC), qui stipule qu’il n’existe pas d’infini entre ( \aleph_0 ) et ( 2^{\aleph_0} ).
Les travaux de Gödel et Paul Cohen ont montré que HC est indécidable dans le cadre de ZFC, ce qui a conduit certains logiciens à envisager l’existence de multiples mondes ensemblistes, où HC pourrait être vraie ou fausse.
Trois écoles de pensée
Face à cette situation, trois positions émergent :
L’antiréalisme : Cette position considère que les ensembles n’existent pas réellement et que les mathématiques se limitent à des manipulations symboliques.
Le réalisme non pluraliste : Cette perspective défend l’existence d’un monde des ensembles unique et cherche à formuler de nouveaux axiomes pour résoudre des questions comme celle de HC.
Le réalisme pluraliste : Ce point de vue accepte l’existence de plusieurs mondes ensemblistes, en réponse à l’indécidabilité de HC.
Les partisans du multivers ensembliste comparent la situation en théorie des ensembles à celle de la théorie des groupes, où plusieurs structures peuvent coexister sans se ramener les unes aux autres.
Conclusion
Le débat sur le multivers ensembliste soulève des questions fondamentales sur la nature de la vérité mathématique et l’existence des ensembles. Les réponses à ces questions pourraient avoir des implications profondes pour notre compréhension des mathématiques et de leur relation avec la réalité.
Source : Pour la Science
